矩阵的乘法

本节目标：按行乘列算出矩阵乘积，说清乘法为什么这样定义、以及哪几条运算律在矩阵里不再成立。

方程组写成 $Ax=b$

上一课把矩阵的加法与数乘定完了，也立起了一个式子：线性方程组的常数项列向量恰好是各系数列向量的线性组合时，方程组才有解。这一课补上最后一块拼图——乘法。有了它，一整页的方程组可以压成四个字符。

先看一个方程含多个未知量的情形，如 $2x_1+x_2+3x_3=5$。把它和一元一次方程 $ax=b$ 摆在一起对比：右边都是常数，左边都是「系数乘未知量再相加」。要让左边也长成「一个对象乘另一个对象」的样子，就得先回答一个技术问题：一行数怎么乘一列数。

教材的答案是把乘积规定为「对应位置相乘再相加」：令

$A=\begin{bmatrix}2 & 1 & 3\end{bmatrix},\qquad x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix},\qquad Ax=\begin{bmatrix}2 & 1 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=2x_1+x_2+3x_3$

这样 $2x_1+x_2+3x_3=5$ 就写成 $Ax=5$，与 $ax=b$ 的形状一致。行向量与列向量按这种方式相乘，结果是一个数，称为数量积（内积）。

把这一步推广到 $m$ 个方程。定义 $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ 与 $n$ 维列向量 $x$ 的乘积 $Ax$ 为一个 $m$ 维列向量，它的第 $i$ 个分量等于 $A$ 的第 $i$ 个行向量与 $x$ 的数量积：

$Ax= \begin{bmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n \end{bmatrix}$

于是线性方程组（2.1.1）就成了一行矩阵方程

$Ax=b$

把 $A$ 按列拆开、记第 $j$ 列为 $A_j$，$Ax$ 还有另一种读法，这一读法上一课已经用过：

$Ax=x_1A_1+x_2A_2+\cdots+x_nA_n$

左端是矩阵乘列向量，右端是 $A$ 的各列向量的一个线性组合，组合的系数正是未知量。两种读法算的是同一件事，第一种适合手算，第二种把「方程组有解」翻译成「$b$ 能由系数列向量线性表出」，第 4 章要用的就是后一种。

$A$ 能与 $x$ 相乘的条件是 $A$ 的列数等于 $x$ 的行数，乘积 $Ax$ 是 $m$ 维列向量——行数跟着左矩阵走。

行乘列：一个元素怎么算

第二个因子从一列推广到多列，就得到一般的矩阵乘法：若 $A$ 与 $B$ 的每个列向量都能相乘，则顺次以这些乘积为列的矩阵称为 $A$ 与 $B$ 的乘积，记为 $AB$。写成元素层面的规则：

• $AB$ 有意义的条件是 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数；
• 若 $A$ 是 $m\times k$ 矩阵、$B$ 是 $k\times n$ 矩阵，则 $D=AB$ 是 $m\times n$ 矩阵——行数取自左矩阵，列数取自右矩阵；
• $D$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素等于 $A$ 的第 $i$ 个行向量与 $B$ 的第 $j$ 个列向量的对应分量乘积之和：

$d_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ik}b_{kj}$

这条规则一次只算出一个数：左矩阵取第 $i$ 行、右矩阵取第 $j$ 列，算出的数就填在乘积的第 $i$ 行第 $j$ 列。位置由「取的是哪一行、哪一列」定，不必另外记口诀。

（本节配图：乘积中的一个元素由左矩阵一行与右矩阵一列确定）

算例：设

$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\-1 & 3 & 0\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1 & 2\\0 & 1\\3 & 1\end{bmatrix}$

$A$ 是 $2\times 3$ 矩阵、$B$ 是 $3\times 2$ 矩阵，$A$ 的列数 $3$ 等于 $B$ 的行数 $3$，乘积有意义，且 $AB$ 是 $2\times 2$ 矩阵。四个元素逐个算：

$AB= \begin{bmatrix} 1\cdot 1+0\cdot 0+2\cdot 3 & 1\cdot 2+0\cdot 1+2\cdot 1\\ (-1)\cdot 1+3\cdot 0+0\cdot 3 & (-1)\cdot 2+3\cdot 1+0\cdot 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}7 & 4\\-1 & 1\end{bmatrix}$

对照行乘列的规则看这一步：$7$ 是第一行乘第一列，$4$ 是第一行乘第二列，$-1$ 是第二行乘第一列，$1$ 是第二行乘第二列。

若把 $B$ 的两列看成 $b_1,b_2$，$AB$ 的两列正好是 $Ab_1$ 与 $Ab_2$：

$Ab_1=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\-1 & 3 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\-1\end{bmatrix},\qquad Ab_2=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\-1 & 3 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\1\end{bmatrix}$

所以 $AB=A(b_1,b_2)=(Ab_1,Ab_2)$：右矩阵拆成几列，乘积就是左矩阵分别乘这几列再拼回去。手算时按这个办法一列一列地做，比逐个元素瞄位置更不容易错位。

（本节配图：把乘法写成元素层面的等式，逐项对着算）

（本节配图：矩阵乘列向量时每一行各得一个分量）

练习（L1）

1. 教材把 $Ax$ 的第 $i$ 个分量规定为 $A$ 的第 $i$ 行与 $x$ 的对应分量乘积之和。
这样规定最直接的好处是什么？
A. 让 $Ax=b$ 与原方程组完全等价
B. 让两个矩阵的对应元素能逐个相乘相加
C. 让任意两个矩阵不用看维度就能相乘
D. 让乘法的结果与两个矩阵的先后顺序无关

参考答案

答案：A　定义成行乘列，是为了让 $Ax$ 的第 $i$ 个分量正好还原出第 $i$ 个方程的左边。对应元素逐个相乘（Hadamard 积）做不到这一点，形状也常常对不上。

2. 设 $A$ 是 $2\times 3$ 矩阵、$B$ 是 $3\times 3$ 矩阵。下面哪个说法对？
A. $AB$ 是 $2\times3$；$BA$ 是 $3\times3$
B. $AB$ 是 $2\times3$；$BA$ 写不出来，维度不合
C. $AB$ 是 $3\times3$；$BA$ 是 $2\times2$
D. $AB$ 写不出来，维度不合；$BA$ 是 $3\times3$

参考答案

答案：B　相乘条件是左矩阵的列数等于右矩阵的行数：$A$ 的列数 $3$ 等于 $B$ 的行数 $3$，所以 $AB$ 是 $2\times3$ 矩阵；$B$ 的列数 $3$ 不等于 $A$ 的行数 $2$，所以 $BA$ 写不出来。

::: warn 最容易顺手的错法
把两个矩阵的对应元素逐个相乘。对上面这一对 $A,B$ 硬算会得出一张 $2\times 3$ 的结果表，而 $AB$ 是 $2\times 2$ 矩阵——连形状都不对。对应元素相乘是另一种运算（Hadamard 积），与矩阵乘法无关。
:::

三条不成立的运算律

定义完就要检查：实数里那些顺手的法则哪些还活着。先看不满足交换律。取

$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$

两个乘法都有意义，都是 $2\times 2$ 矩阵，算出来却不同：

$AB=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 1\\4 & 3\end{bmatrix},\qquad BA=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 4\\1 & 2\end{bmatrix}$

换顺序以后结果不一样，这就是矩阵乘法不满足交换律的原样：$AB=BA$ 对一般的方阵并不成立，写乘积时必须分清左右。

交换顺序的后果还不止「结果不同」。回到上一节那一对矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&0\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\\3&1\end{bmatrix}$：$AB$ 是 $2\times 2$ 矩阵，而 $BA$ 的相乘条件是 $B$ 的列数 $2$ 等于 $A$ 的行数 $2$，成立，$BA$ 是 $3\times 3$ 矩阵。两个乘积不同型，比较大小或是否相等都无从谈起。若把 $A$ 换成 $3\times 3$ 方阵，则 $AB$ 有意义而 $BA$ 无意义——连第二个乘积都写不出来。

第二件要检查的是消去律。取

$A=\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1 & -1\\1 & -1\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}-1 & 1\\-1 & 1\end{bmatrix}$

算三个乘积：

$AB=\begin{bmatrix}2 & -2\\2 & -2\end{bmatrix},\qquad AC=\begin{bmatrix}-2 & 2\\-2 & 2\end{bmatrix},\qquad BC=\begin{bmatrix}-2 & 2\\-2 & 2\end{bmatrix}$

$AB\neq AC$ 说明 $B\neq C$ 与 $AB=AC$ 并不冲突；再看 $BC$，两个非零矩阵相乘得到了零矩阵。于是有两条反例，都要背下来：

• 若 $AB=O$，推不出 $A=O$ 或 $B=O$；
• 由 $AB=AC$ 且 $A\neq O$，推不出 $B=C$。

这两条之所以值得单独记，是因为它们正好卡住「两边同时除以 $A$」这种顺手动作：矩阵没有除法，第 9 课讲的逆矩阵也只对可逆矩阵才允许消去。

练习（L3）

1. 设 $A=\begin{pmatrix}2 & 1\\0 & 3\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1 & 0\\2 & 4\end{pmatrix}$。
某同学的解答有两处错误：
① 他把两个矩阵对应位置的元素逐个相乘，
得到 $\begin{pmatrix}2 & 0\\0 & 12\end{pmatrix}$，说这就是 $AB$；
② 他又说因为 $AB=BA$，所以 $BA$ 也是这张表。

指出两处错误的根因，写出 $AB$ 与 $BA$ 的正确结果，
再各给一句以后算的时候怎么避开。

参考答案

根因一：把矩阵乘法当成了「对应元素逐个相乘」——那是 Hadamard 积。
$AB$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列必须是 $A$ 的第 $i$ 行与 $B$ 的第 $j$ 列
对应相乘再相加；$B$ 有两列，就要做两次行乘列、算出两列数。
正确结果：
$AB=\begin{pmatrix}4 & 4\\6 & 12\end{pmatrix}$，
$BA=\begin{pmatrix}2 & 1\\4 & 14\end{pmatrix}$。
根因二：乘法不满足交换律，$AB=BA$ 对一般的方阵不成立。
这里 $BA$ 的两列是由 $B$ 的两列参与算出的，与 $AB$ 不同，
不能凭一句话把 $AB$ 的结果抄给 $BA$。
怎么避开：算之前先把两边的维度写在纸角核对
（这里 $2=2$，两个乘积都合法，正因如此更容易顺手写错）；
每算一个元素都重新「左取一行、右取一列」，两个乘积各算一遍。

判分要点：必须同时做到三点才算通过： ① 点出根因是把乘法当成了对应元素逐个相乘（只说算错了不算）； ② $AB=\begin{pmatrix}4 & 4\\6 & 12\end{pmatrix}$ 四个元素全对； ③ 指出 $AB=BA$ 不成立，并给出 $BA=\begin{pmatrix}2 & 1\\4 & 14\end{pmatrix}$。

部分通过：结论对但说不出根因，或 $BA$ 是照 $AB$ 抄的。
不通过：$AB$ 仍按对应元素逐个相乘来算。

结合律与分配律仍然成立

不成立的只有上面那几条，乘法该有的代数法则大部分还在。对使乘法有意义的矩阵，有

• 结合律 $(AB)C=A(BC)$；
• 分配律 $A(B+C)=AB+AC$，$(A+B)C=AC+BC$；
• 数与乘积的结合 $\lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$。

分配律与第三条的验证方式与上一课的性质一样，逐个元素对一遍即可；结合律值得单独算一遍。取

$A=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$

先算左边：$AB=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}$，故 $(AB)C=1\cdot 3+2\cdot 4=11$；再算右边：$BC=\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$，故 $A(BC)=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}=11$。两侧相等。

结合律让连乘积可以省掉括号写成 $ABC$，也让「先把右边两个乘起来」这种算法合法。矩阵乘法的实际来历正落在这条上：设 $y$ 是 $x$ 的线性函数、$z$ 又是 $y$ 的线性函数，写成矩阵式就是 $y=Bx$、$z=Ay$，代入得

$z=A(Bx)=(AB)x$

先把两个系数矩阵乘出来，再由一次乘法直接给出 $z$ 与 $x$ 的关系。教材在乘法之后专门用这个例子说明结合律的用法。

单位矩阵、方幂与多项式

方阵是乘法里最重要的情形，因为只有方阵才能自己乘自己。

主对角线上元素全为 $1$、其余元素全为 $0$ 的 $n$ 阶方阵称为 $n$ 阶单位矩阵，记为 $E$：

$E=\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$

它扮演实数乘法里 $1$ 的角色：对任意 $n$ 阶矩阵 $A$，都有 $EA=AE=A$，左乘右乘都成立。例如 $E=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ 与 $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$ 相乘（注意 $A$ 是 $2\times 3$，$E$ 是 $2$ 阶）可得 $EA=A$。

设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$k$ 个 $A$ 相乘有意义，称为 $A$ 的 $k$ 次幂，记为 $A^k$，并约定 $A^0=E$。因为乘法不满足交换律，指数法则只在同一个矩阵的幂之间成立：$A^mA^k=A^{m+k}$；对两个不同的方阵则有

(AB)^k\neq A^kB^k\quad(A,B\ \text{皆为方阵})

形如

$f(A)=A^m+a_1A^{m-1}+\cdots+a_{m-1}A+a_mE$

的式子称为矩阵 $A$ 的多项式，就是把普通多项式 $f(\lambda)$ 中 $\lambda$ 换成 $A$、常数项换成 $a_mE$。多项式的加、乘与因式分解都能照常做，这是整理关系式和算幂时最常用的一步。设

$A=\begin{bmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}$

乘两次得 $A^2=\begin{bmatrix}5 & 3\\3 & 2\end{bmatrix}$，于是

A^2-3A+E=O,\qquad\text{即}\qquad A^2=3A-E

有了这个等式，算 $A^3$ 就不必再乘两次：

$A^3=A\cdot A^2=A(3A-E)=3A^2-A=3(3A-E)-A=8A-3E=\begin{bmatrix}13 & 8\\8 & 5\end{bmatrix}$

反过来，把 $A^2-3A+E=O$ 移项整理成

$(A-E)(A-2E)=E$

就直接读出一个结论：$E$ 能写成 $A-E$ 与 $A-2E$ 的乘积。第 9 课专门处理「一个矩阵乘另一个矩阵得 $E$」这件事，这里先用关系式把幂降下来。

练习（L2）

1. 设 $A=\begin{pmatrix}3 & 2\\1 & 1\end{pmatrix}$，$E$ 是二阶单位矩阵。
① 算出 $A^2$，整理成 $A^2=pA+qE$，写出 $p$ 与 $q$。
② 不连乘三次，用 ① 的关系式把 $A^3$ 写成 $sA+tE$，
写出 $s$ 与 $t$。
③ 把 ① 的关系式移项，整理成「$A$ 乘某个矩阵等于 $E$」
的形式，写出那个矩阵并乘开验证。

参考答案

① $A^2=\begin{pmatrix}11 & 8\\4 & 3\end{pmatrix}$。
对照 $pA+qE=\begin{pmatrix}3p+q & 2p\\p & p+q\end{pmatrix}$：
由 $2p=8$ 得 $p=4$，再由 $p+q=3$ 得 $q=-1$。
所以 $A^2=4A-E$，也就是 $A^2-4A+E=O$。
② 拿关系式降幂：
$A^3=A\cdot A^2=A(4A-E)=4A^2-A$
$=4(4A-E)-A=15A-4E$，
所以 $s=15$、$t=-4$，且 $A^3=\begin{pmatrix}41 & 30\\15 & 11\end{pmatrix}$。
③ 移项得 $A^2-4A=-E$，即 $A(4E-A)=E$，
那个矩阵是 $4E-A=\begin{pmatrix}1 & -2\\-1 & 3\end{pmatrix}$。
乘开验证：$A(4E-A)=4A-A^2=4A-(4A-E)=E$。

判分要点：三小问各判一条： ① $A^2$ 四个元素全对，且 $p=4$、$q=-1$； ② 用到了 ① 的关系式（先写成 $A\cdot A^2$ 再代入）， 结果 $s=15$、$t=-4$； ③ 写成 $A(4E-A)=E$ 并乘开验证过。 写成 $(4E-A)A=E$ 同样算对（$A$ 与 $A^2$ 可交换）。

部分通过：结果都对，但 ② 是硬乘三次得来的（没用关系式）。
不通过：把 $A^3$ 当成逐个元素求三次方。

教材里的两个应用

教材在乘法之后给了两类完整计算，都属于把「同一套运算要对很多组数据做」的表格整理成一次乘法。

经济学中的一次乘法：某地区三个公司各生产四种产品，把各公司的日产量排成矩阵 $A$、把四种产品的单价与单位利润并排成矩阵 $B$，则各公司的总收入与总利润恰好是乘积 $AB$ 的各个元素——$B$ 的每一列对应一项要算的合计，$AB$ 的每一列对应这项合计的结果。教材用表 2.1–2.3 把三张表算成一个乘积，得到三家公司的总收入与总利润。

莱斯利矩阵：把种群按生命阶段分成几组，各阶段的一年存活率与年产卵量排成方阵 $L$，若用列向量 $x_k$ 记第 $k$ 年各阶段的种群数量，则

x_{k+1}=Lx_k,\qquad\text{从而}\qquad x_k=L^kx_0

这种形式的矩阵叫莱斯利矩阵，相应的模型叫莱斯利种群模型。教材用它预测海龟种群：初始各阶段数量为 $200000,300000,500,1500$，一年后即 $Lx_0$，十年、二十五年、五十年的数量由 $L^kx_0$ 依次算出。

练习（L4）

1. 甲、乙两厂各生产 $P_1,P_2,P_3$ 三种产品。
日产量矩阵 $A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\1 & 4 & 1\end{pmatrix}$，
第 1 行是甲厂、第 2 行是乙厂，列依次对应三种产品。
单价与单位利润排成 $B=\begin{pmatrix}10 & 2\\20 & 5\\10 & 1\end{pmatrix}$，
第 1 列是单价（元）、第 2 列是单位利润（元）。

① 乘积 $AB$ 一次算出了什么？写出它的形状，
再说 $BA$ 算出来是不是同一件事。
② 写出 $AB$，并指出哪两个元素分别是乙厂的
总收入与总利润。

参考答案

① $A$ 是 $2\times3$、$B$ 是 $3\times2$，左的列数等于右的行数，
所以 $AB$ 是 $2\times2$ 矩阵：第 1 行甲厂、第 2 行乙厂，
第 1 列总收入、第 2 列总利润——
一次乘法把两家厂的两项合计都算出来了。
$BA$ 也写得出来（$B$ 的列数 $2$ 等于 $A$ 的行数 $2$），
但它是 $3\times3$ 矩阵，行与列都按产品编号走，
得到的不是「每家厂的总收入与总利润」，不是同一件事。
② 第 2 行第 1 列 $=1\cdot10+4\cdot20+1\cdot10=100$，
第 2 行第 2 列 $=1\cdot2+4\cdot5+1\cdot1=23$；
同样算第 1 行，得 $AB=\begin{pmatrix}70 & 12\\100 & 23\end{pmatrix}$。
乙厂是第 2 行：$100$ 是乙厂的总收入（元），
$23$ 是乙厂的总利润（元）。

判分要点：三档判据： ① 说出 $AB$ 是 $2\times2$，每行一家厂、两列分别是总收入与总利润， 并指出 $BA$ 是 $3\times3$、行与列都按产品编号走，不是同一件事。 ② $AB=\begin{pmatrix}70 & 12\\100 & 23\end{pmatrix}$ 四个元素全对。 ③ 指认乙厂那一行：$100$ 是总收入、$23$ 是总利润。

部分通过：元素算对但把两项合计说反（把 $100$ 当成利润）。
不通过：把 $AB$ 的形状说成 $3\times3$，或认为 $BA$ 是同一件事。

::: practice 上手做 | 第 1 步 · 三次乘法各手算一遍

取 $A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 0\end{bmatrix}$、$B=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & -1\end{bmatrix}$、$X=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，在同一张纸上依次完成五步：

1. 算 $AX$，写出结果；再把 $AX$ 按「$A$ 的列向量的线性组合」重新写一遍，核对两种算法得到同一个列向量。
2. 算 $AB$。
3. 算 $BA$，与第 2 步的结果比较，写出 $AB-BA$。
4. 取 $Y=BX$，再算 $AY$；然后算 $(AB)X$，核对 $AY$ 与 $(AB)X$ 相同。
5. 取 $C=\begin{bmatrix}1 & -1\\1 & -1\end{bmatrix}$、$D=\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}$，算 $CD$，用这个结果解释「$AB=O$ 为什么推不出 $A=O$ 或 $B=O$」。

五步做完，把最容易出错的三个位置在纸上标出来：相乘条件的维度有没有先确认、乘积的每个元素有没有对齐行列位置、交换 $A$ 与 $B$ 的顺序以后有没有重新算一遍。

:::

本课的动手任务在 矩阵乘法任务单：五个手算任务，期望答案与自查清单分开放。

::: note 用 Python 验算
手算完可以把结果对着 numpy 核一遍，把这一段当验算器用，手算仍然要自己走一遍：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 0]])
B = np.array([[0, 1], [1, -1]])
X = np.array([[1], [2]])
C = np.array([[1, -1], [1, -1]])
D = np.array([[1, 1], [1, 1]])

print(A @ X)          # A 乘列向量 X 的结果
print(A @ B, B @ A)   # 两个乘积，比较是否相等
print(A @ (B @ X))    # 结合律：应等于 (A @ B) @ X
print(C @ D)          # 两个非零矩阵相乘得零矩阵

:::

这一课要记住的

• 乘法按「左取一行、右取一列，对应相乘再相加」定义，条件是左矩阵的列数等于右矩阵的行数；乘积的行数取自左矩阵、列数取自右矩阵。
• 这样定义的目的就是让线性方程组写成 $Ax=b$，而 $Ax$ 也等于 $A$ 的列向量的线性组合。
• 交换律与消去律都不成立：$AB\neq BA$ 是常态，$AB=O$ 时两个因子都可以非零，$AB=AC$ 且 $A\neq O$ 推不出 $B=C$。
• 结合律、分配律、数乘的结合律成立；方阵有单位矩阵 $E$、方幂与矩阵多项式，$(AB)^k\neq A^kB^k$。

::: warn 期末最容易丢分的三处

• 把矩阵乘法当成对应元素逐个相乘：先看形状对不对，再看数值对不对。
• 不看维度就相乘：写 $AB$ 之前先确认左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
• 在没写清前提的地方消去 $A$：下一步要用消去律，就先确认 $A$ 能否消去。
  :::

练习（L1）

1. 设 $A,B,C$ 都是同阶方阵，题中出现的乘积都有意义。
下面哪个说法对？
A. $(AB)C=A(BC)$ 恒成立，$AB=BA$ 不一定
B. $AB=BA$ 恒成立，$(AB)C=A(BC)$ 不一定
C. 只要 $AB=O$，就一定 $A=O$ 或 $B=O$
D. 由 $AB=AC$ 且 $A\ne O$ 就能推出 $B=C$

参考答案

答案：A　$(AB)C=A(BC)$ 是结合律，对使乘法有意义的矩阵都成立。$AB=BA$ 一般不成立；$AB=O$ 推不出谁为零；$AB=AC$ 也不能两边消去 $A$——这三条的反例都在本节正文里。要用消去律之前，先确认 $A$ 消得掉。

::: related

• 上一课：矩阵的线性运算与线性组合
• 下一课：矩阵乘法的应用
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::: resources

• 《线性代数》（第三版，四川大学出版社） | 第 2 章 §2.2.2 矩阵的乘法：定义 2.2.5–2.2.6、例 2.2.3–2.2.7、矩阵乘法的性质、单位矩阵与方阵的幂与多项式（原书第 22–29 页）
• Book: Linear Algebra by Jim Hefferon | 免费教材 · 矩阵乘法与线性映射一章的另一种讲法（含全部习题解答）
• Doc: MIT OpenCourseWare 18.06SC Linear Algebra | 官方开放课件 · 用 Problem Sets 与 Exam 对答案
• Video: 线性代数的本质（3Blue1Brown 官方双语系列） | 视频 · 手算练熟之后再看矩阵乘法在变换上的含义
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